Dual vector

给定一个矢量,如果存在这样一个映射,它把给定的矢量映射为一个实数,就说这个映射是对偶矢量。例如一个 $n$ 维行向量

(a_{1}, a_{2} \dots a_{n})

它既可以理解为行向量,也可理解为某种映射,该映射把给定的 $n$ 维列向量

(\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \dots \\ b_{n} \end{matrix})

(矢量)映射为实数 $k$ ,

k = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n}

即矩阵的乘积。则这个映射满足对偶矢量的定义,因此行向量 $(a_{1}, a_{2} \dots a_{n})$ 是矢量 $(\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \dots \\ b_{n} \end{matrix})$ 的对偶矢量。