Homogenous coordinates

齐次坐标

以二维为例，在平移变换中我们新增一个坐标分量叫 $w$ ，让其先等于 $1$

则平移的矩阵可以表示为

(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 & t_{x} \\ 0 & 1 & t_{y} \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} x + t_{x} \\ y + t_{y} \\ 1 \end{matrix})

再来看一下用齐次坐标是否可以表示之前的那些变换,均匀缩放

(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} s & 0 & 0 \\ 0 & s & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix})

以及旋转

R_{θ} = (\begin{matrix} c o s θ & - s i n θ & 0 \\ s i n θ & c o s θ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

都是可以的